试卷切分与 AI 组卷工作台

一个生产车间有三台设备,假设在一天 运行中,设备 1,2,3 出现故障的概率分别为 , $\frac{p}{2},1-p^{2}$ ,其中 $0 \lt p \lt 1$ ,每台设备一天最多出现一次故障,各部件的状态相互独立.

(1) 若 $p=\frac{1}{2}$，求车间在一天的运行中,有两台设备出现故障的概率;

(2) 对于出现故障的设备,车间在当天对其修复,且设备 1,2,3 的单次维修费用分别为 50 元,100 元,150 元,通过计算说明当 $\frac{2}{3}\le p \lt 1$ 时该车间每年设备维修费用的均值不超过 5.475 万元.(一年按 365 天计算).

已知函数 $f(x)=e^{x}-x$

(1) 当 $x\in[0,+\infty)$，$f(x)-1\ge ax^{2}$ 时， 恒成立，求实数 取值范围;

(2) 证明：$\sum_{k=1}^{n}\left[f\left(\frac{1}{k}\right)-1\right]>\frac{n}{2(n+1)}$

(1) 甲、乙、丙三人各自独立投篮，甲和丙都投中 概率是 $\frac{2}{9}$，甲投中而丙未投中的概率是 $\frac{1}{9}$，乙投中而丙未投中的概率是 $\frac{1}{6}$。请问三人中哪一位投篮水平较高？并说明理由;

(2) (i)对于事件 , , ,当 $P(AB) \gt 0$ 时,求证: $P(ABC)=P(A)P(B\vert A)P(C\vert AB)$ ; (ii)若某同学做如下摸球试验:一个袋子中有 10 个大小完全相同的小球,其中黑球 7 个,白球 3 个,每次从袋子中随机摸出 1 个球,且摸出的球不再放回.若该同学摸球三次,求三次都摸到白球的概率.

已知函数 $f(x)=(x+a)\ln|x|\ (a\in R)$ 的图象关于原点对称.

(1) 求 值;

(2) 求函数 $f(x)$ 的极值点.

已知二项式 $(2x-1)^{n}$ 展开式中，前三项的二项式系数和是 56.

(1) 求 的值;

(2) 求其二项式系数之和与各项系数之和的差.

已知 $$\begin{vmatrix}a&c\\ b&d\end{vmatrix}=ad-bc$$，定义运算 @：$$f(x)@g(x)=\begin{vmatrix}1&f'(x)+a\\ f(x)&g(x)\end{vmatrix}$$，其中 $f'(x)$ 是函数 $f(x)$ 的导数。若 $\varphi(x)=(\ln ax)@(e^{x}+1)$，设实数 $a \gt 1$，若对任意 $x\ge 1,\varphi(x)\ge 0$ 恒成立，则 的取值范围____.