试卷切分与 AI 组卷工作台

电脑屏幕上的图形是由像素组成的．如果用放大镜观察电脑屏幕，我们会发现：屏幕上的图形，实际上是由若干个小正方形拼合而成的近似图形.据此，小赵同学进行了如下研究： 已知 $M_n$ 是由 $2n\times2n$ 个边长为1的小正方形组成的网格（n为正整数）．对于平面直角坐标系 $xOy$ 中的图形W，我们按如下规则对 $M_n$ 进行染色：首先将 $M_n$ 水平放置在平面直角坐标系中，使得它的中心点与原点重合；此时，如果图形W与某个小正方形的内部（不含边界）有交点，就将这个小正方形染成黑色，否则就将它染成白色.我们将这样染色后的网格称为图形W的“n阶马赛克”. 例如：图1和图2分别为函数 $y=|x|$ 的图像及其对应的“4阶马赛克”．

(1) 在下面的网格中画出直线 $y=2x+\frac{1}{2}$ 的“4阶马赛克”：

(2) 对于实数 $k(k\neq 0)$ ，如果存在实数b，使得直线 $y=kx+$ 的“2阶马赛克”如下图所示，则k的取值范围是：

(3) 已知点 $P(m\cdot\frac{1}{4})$ ，直线l：$y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+b$ 经过点P.点Q从点P出发沿水平方向向右移动，过点Q作直线l的垂线，垂足为H.已知当Q出发后，线段 $QH$ 的“1阶马赛克”依次如下图所示，则m的取值范围是．

阳阳发现：利用公式 $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc=(a+b+c)^{2}$ 可以把一些含根号的式子写成另一个式子的平方，如： $$6+2\sqrt{2}+2\sqrt{3}+2\sqrt{6}=1^{2}+(\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{3})^{2}+2\times1\times\sqrt{2}+2\times1\times\sqrt{3}+2\times\sqrt{2}\times\sqrt{3}=(1+\sqrt{2}+\sqrt{3})^{2}$$ 【问题解决】请你仿照阳阳的方法解决下面问题：

(1) 若 $6+2\sqrt{2}-2\sqrt{3}-2\sqrt{6}=(1+\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}(a,b\text{为正整数})$ ，则 $a+b=$ ：

(2) 已知n为正整数，化简 $\sqrt{n+1+\sqrt{n^{2}+n}+\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}-$ ：

(3) 【拓展延伸】计算 $\sqrt{\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}}+\sqrt{\frac{\sqrt{4}+1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}}+\sqrt{\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}+2}}+\cdots+\sqrt{\frac{\sqrt{k+1}+1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}}+\cdots+\sqrt{\frac{\sqrt{2025}+1}{\sqrt{2025}+\sqrt{2024}}}$ 请直接写出最后的化简结果.

已知正方形ABCD和等腰直角三角形AEF．连接CE、CF．

(1) 点P为线段CF的中点，连接DP ①如图1所示，当点E、F分别在边AB、AD上时，请直接写出DP与CE之间的关系； ②将△AEF绕点A旋转到图2的位置，请写出LPDC与LACE之间的数量关系并证明；

(2) 将△AEF绕点A旋转到图3的位置，作FGLCD于点G，设FC、EC 的长分别为m、n，则DG·DC的值是（用含m,n的式子表示）.

为提升学生的跳绳能力，学校为同学们安排了“活力跳跳营”课程．该课程分为体能提升（不含跳绳）和跳绳训练两个阶段：先进行T天（T可取0、2、4或6）的体能提升，从第 $T+1$ 天开始进入跳绳训练，每日跳绳训练后安排课堂测试，当跳绳的个数达到合格标准时立即停止跳绳.体育老师根据以往经验制定的课堂测试合格标准为：一名同学在跳绳训练的第x天跳绳个数为y个.经统计，对于给定的T，可以认为y是x的函数.当 $T=0$ 和 $T=4$ 时，部分数据如下： 表：x为1,2,3,4,5,6,7,8； $T=0$时y的值为30,55,75,90,100,m,107,110； $T=4$时y的值为70,120,155,170,180,185,188,190. $T=0$ 时，从跳绳训练的第2日起，合格标准中每一日比前一日多跳的跳绳个数逐渐减少或保持不变. 对于给定的T，在平面直角坐标系xOy中描出该T值下各有序数对 $(x,y)$ 所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到曲线 $C_T$. 当 $T=2$ 和 $T=6$ 时，曲线 $C_2$ , $C_6$ 如图所示. 解答下列问题：

(1) 观察曲线 $C_2$ ，当跳绳训练天数x为第____天时，当天课堂测试的跳绳合格个数首次超过100；

(2) 表中 $m=\underline{\ \ }$ ，并在给出的平面直角坐标系中画出 $T=4$ 时的曲线 $C_4$；

(3) 小月同学报名参加了学校的“活力跳跳营”课程. ①若小月的目标是在课堂测试中完成跳绳个数不少于150个，在 $T=0$、2、4、6四种训练方案中，小月最早在参加课程（包含体能提升和跳绳训练）的第____天可以完成目标. ②若课程的总天数均为8天，小月应该选择安排____天的体能提升训练，能使自己在课堂测试中的累计跳绳个数最多.

某外卖平台招聘外卖骑手，并提供了如下两种日工资方案： 方案一：每日无底薪，每完成一单外卖业务提成6元． 方案二：每日底薪120元，外卖业务的前30单没有提成，超过30单的部分，每完成一单提成10元． 设骑手每日完成的外卖业务量为x单（x为正整数），方案一、方案二中骑手的日工资分别为 $y_1$ 元， $y_2$ 元.

(1) 直接写出 $y_1,$ $y_2$ 关于x的函数关系式；

(2) 小林是此外卖平台的一名骑手，他想日工资达到300元，从外卖业务量的角度考虑（越少越好），小林应该选择哪种方案？说明理由.

如图，在 $\square ABCD$ 中，过点D作 $DE\bot AB$ 于点E，点F在边CD上，$DF=BE$ ，连接 $AF$ ,BF.

(1) 求证：四边形BFDE是矩形；

(2) 若 $CF=3$ , $BF=4,$ $DF=5$ ，求证：$AF$ 平分 $\angle DAB.$